毒ワインとソムリエのジレンマ

はじめに

ライアーゲームを見ながら、私もゲーム（論理パズル）を創作してみました。

とはいっても、マネーの奪い合いでもなければ、問題文にない条件や設定を持ち込むような意地悪クイズでもありません。論理的にお考えいただければ幸いです。

宜しければ挑戦してみて下さいね(*´ω｀*)

問題

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ある国の王様が、処刑予定となっている4人の囚人を集めてこう言いました。

「お前達の中に１人ソムリエがいるそうだな。そこで、こんなゲームを思いついた。見事勝ち残ることができた者は処刑を免除し、負けた者はそれをもって処刑とする。では、ルールを説明しよう。これより１人ずつ順番に処刑場へ連行する。その途中、ワイン蔵に立ち寄らせるので、自分以外の３人に飲ませたいワインを３つのグラスに注いで処刑場まで運んでもらう。そこには４種類のワインとそれぞれのワイン専用のグラスが用意されている。全てのワインとグラスに１番から４番のいずれかの刻印があり、同じ番号同士なら専用ということだ。言うまでもないが専用ではないグラスにワインを注ぐことを禁止する。どの番号も必ず１種類のワインと４個以上のグラスに刻印されており、４種類中１種類に致死性の高い毒を入れさせてもらった。ちなみに蔵を１人出るたび、ワインやグラスの配置を整え並び替える。割ったり傷つけたりは即刻処刑だ。そして処刑場に全員揃ったら３人から１杯ずつ受け取り、３杯全て飲み干さない者も処刑する。それでは準備が整うまで、連行する順番を相談する時間を与えてやろう。」

さて、ソムリエには飲まなくても毒ワインを見抜く能力があり、それ以外の３人にはワインの知識すらありません。囚人達は「自分が助かる確率が少しでも上がることを最優先し、そのときに限り協力しあう」ものとして最善策をお考え下さい。

最善策への道

最善策を問われていますので、100%全員が助かる方法から考えてみます。
もしそのような方法があるなら、反対する囚人はいませんよね。

まずは各ワインの量について。「種類」という表現しかされていませんので「量」が分かりません。とは言え、さすがに問題文にない条件や設定を後付するような出題は論理パズルとして反則ですね。意識する必要がない＝十分な量があるとみましょう。
（突然の災害で処刑どころではなくなることまで意識しなくてよいのと同じです。）

ワインの専用グラスの数はどうでしょうか。
　４種類×４個以上＝１６個以上
うち、安全なワインの分については
　３種類×４個以上＝１２個以上
４人×３杯＝１２杯をカバーできる個数であることが確認できます。

最初に連行されるのがソムリエ以外だった場合は、毒を見抜くことができません。
誰かが毒を飲む可能性が出てしまうため、これはＮＧです。

しかし、ソムリエだった場合は毒を見抜くことができますので、安全なワイン３杯を注ぐことができます。但し後に続く３人が毒を注いでしまっては自分が危ないので、なんとかして毒入りワインを次の人に伝えなければなりません。

自分の意志でコントロールできるのは３杯分のワインの選択のみ。つまり各グラスの残数です。それを４種類のうちの１種類に対応させる方法を考えてみましょう。

最善策への道～準最善策編～

見ずに考えたい方は見ないほうがよいかも？

すぐに思いつくのは全てのグラスの総数を数えて４で割った余りをそれぞれ４種類に対応させる方法。但し、単純に数えて割るだけではうまくいきません。なぜならば、３杯注いでグラスを減らしたときの余りは３個ズレるだけなので、自由に操ることができないからです。

自由に操るためには、注ぐワインの番号によって余りを変化させる必要があります。つまり、番号ごとのグラスの数え方に差をつけることで「４で割った余り」に影響を与えるのです。

では、１番のグラスなら１個ずつ、２番なら１個で２個分、３番なら１個で３個分、４番は数えない（４個分数えても４で割った余りに影響しないため）というルールで３杯注ぐと「４で割った余り」はどう変化するのか見てみましょう。

1番	2番	3番	4番		1 ↓	2 ↓	3 ↓	0 ↓
3	0	0	0	→	2	3	0	1
0	2	1	0
1	0	2	0
0	0	1	2
1	1	0	1
0	3	0	0	→	3	0	1	2
2	0	0	1
0	0	2	1
0	1	0	2
1	1	1	0
0	0	3	0	→	0	1	2	3
2	0	1	0
1	2	0	0
1	0	0	2
0	1	1	1
0	0	0	3	→	1	2	3	0
2	1	0	0
0	2	0	1
0	1	2	0
1	0	1	1
注ぎ方					余りの変化

ここで一つ、気をつけておきたい点があります。それは、いずれかのグラスの個数が最低数の４個だった場合です。４人とも毒以外のワイン３種類からそれぞれ１杯ずつしか注がないのであれば足りなくなることはありません。しかし、実際には上の表のようにほとんどのケースで２杯以上注ぐグラスが出てくるため、減らすべきグラスが足りなくなることも想定しておく必要があります。

シンプルな解決策としては、毒ワイン以外の３種類のうち「２杯以上注いでもＯＫなワインを１種類に限定」することです。他のワインは多くても１杯ずつしか注がないためそちらのグラスはなくなりません。すなわちなくなる可能性があるワインはその限定したワインのみですので、毒ワインの番号との対応関係を作っておきましょう。むしろ該当する番号のグラスが３個以下になっていたら積極的に使い切ってＯＫ。

グラスのなくなったワインがあるということは毒ワインを特定できますので、もう「４で割った余り」は気にしなくてよいです。安全なワインのグラスは確実に全員分ありますから、最後の１人以外は残る２種類のワインのグラスがなくならない範囲で自由に注ぐことができます。

そこまで加味すると次のような注ぎ方がベターでしょう。

１番が毒のとき（４で割った余りを１にしたい）

現在４で割った余りが１なら２番を２杯と４番を１杯
現在４で割った余りが２なら２番と３番と４番を１杯ずつ
現在４で割った余りが３なら２番を３杯
現在４で割った余りが０なら２番を２杯と３番を１杯

２番が毒のとき（４で割った余りを２にしたい）

現在４で割った余りが１なら１番を３杯
現在４で割った余りが２なら１番と３番と４番を１杯ずつ
現在４で割った余りが３なら１番を２杯と３番を１杯
現在４で割った余りが０なら１番を２杯と４番を１杯

３番が毒のとき（４で割った余りを３にしたい）

現在４で割った余りが１なら４番を２杯と２番を１杯
現在４で割った余りが２なら４番と１番と２番を１杯ずつ
現在４で割った余りが３なら４番を３杯
現在４で割った余りが０なら４番を２杯と１番を１杯

４番が毒のとき（４で割った余りを０にしたい）

現在４で割った余りが１なら３番を３杯
現在４で割った余りが２なら３番と２番と１番を１杯ずつ
現在４で割った余りが３なら３番を２杯と１番を１杯
現在４で割った余りが０なら３番を２杯と２番を１杯

いずれかのグラスがなくなっているとき

１番がなくなっていたら毒は２番
２番がなくなっていたら毒は１番
３番がなくなっていたら毒は４番
４番がなくなっていたら毒は３番
毒以外の２種類のグラスがなくならないよう自由に注ぎます。

「なくなっていたら毒を示すグラス」が３個以下のとき

そのグラスを使い切っても３杯に満たない場合には毒以外の２種類のグラスがなくならないよう自由に注ぎます。

ややこしながらも、100%全員が助かる必勝法が完成しましたヽ(=´▽`=)ﾉ

余談ではありますが「割ったり傷つけたりは即刻処刑だ」とあるので４で「割った」時点で処刑されちゃうかもしれませんね。。。いや、冗談ですケド（笑）

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ところで、この問題で問われているのは「最善策」でした。何か改良できそうな点はないでしょうか。例えば、グラスごとに数え方を変える手間や４で割った余りを出す手間は簡略化したいところ。実は「４で割った余り」の代わりに「２で割った余り」すなわち「奇数か偶数か」の対を組み合わせて４通りに集約させることで、それらの煩わしさを解消することができるのです。

最善策

答え合わせ、または、ギブアップする方はどうぞ。

１番から４番の中から３種類選びます。選び方は自由ですが今回は２番、３番、４番を選ぶことにして、以降それに合わせた説明をしていきますね。

２番、３番、４番の各グラスの個数が奇数か偶数かを調べて仲間ハズレになる番号を探すと４パターンに分類できるので、以下のように毒の番号と結びつけましょう。

１番が毒：仲間ハズレがない
２番が毒：２番だけ仲間外れ
３番が毒：３番だけ仲間外れ
４番が毒：４番だけ仲間外れ

この関係を保つように３杯注ぐことは非常にシンプルかつ直感的に行えます。文章で表現するならば、次のような感じになるでしょうか。

毒以外の３種類の中に、「１杯注ぐだけで目的の仲間ハズレ状態にすることができるグラス」が存在するならその１杯を注ぎ、残り２杯はグラスの残り数になるべく余裕のある１種類（毒以外ならどれでも）を選んで注ぐ。存在しないなら毒以外の３種類を１杯ずつ注ぐ。

４人目については次に毒を伝える必要がないため毒以外を自由に３杯注げばよく、従ってこのルールは３人目までが遵守すれば問題ありません。

以上の情報を４人で共有して実行することが（少なくとも現在私の考えうる範囲で）最善策です。さらなる改良・最善策があれば是非教えて下さいませ(*´ω｀*)

ちなみに分かる方限定のネタで恐縮なのですが、「２番から４番の中から仲間ハズレを探す」という単純な作業は、実は「全てのグラスから排他的論理和を取る」ことと本質的に同じなんです。この最善策においては、１番グラスを00、２番グラスを01、３番グラスを10、４番グラスを11として全てのグラスから１つずつ排他的論理和を取ってみていただければ「全く同じ」であることがお分かりいただけると思います。 $0$ から $2^N-1$ （ $N\geqq2$ 、整数）の全ての二進整数の排他的論理和を取ると $0$ になるため、１つだけ「仲間ハズレ」があればそのまんま透けて見えるってワケですね。